Aristarco se adueñó de la Luna y el Sol
¿Podrán
los alumnos medir la Luna?
¿Y la distancia a que está de nosotros?
La
literatura dice que Aristarco de Samos fue el primer hombre que se aventuró a
medir distancias estelares. Este sabio vivió en el siglo III antes de nuestra
era y si bien la patria de su espíritu fue la Cultura su cuerpo nació en la
Isla de Samos, sita en el mar Egeo. De sus obras nada queda: el
proto-cristianismo quemó la biblioteca de Alejandría. Si algo sabemos de su razón es porque otros
genios escribieron sobre su trabajo excelso, entre ellos el inmortal
Arquímedes.
Aristarco
fue uno de los primeros en proponer el sistema heliocéntrico, aunque la falta
de verificación de la paralaje estelar fue una muy dura prueba para las mentes
conservadoras de todos los tiempos. La objeción de los cultos al sistema heliocéntrico,
era la siguiente:
Si la
Tierra gira en torno al sol, entonces debe de poder observarse una variación en
la posición aparente de las estrellas fijas, puesto que varía la posición espacial
del observador a lo largo del año.
El
argumento es muy fuerte. Ante él, Aristarco contestó una inversión de la
prueba, es decir, basado en la misma ausencia de la paralaje:
Las
estrellas están extremadamente lejos; luego, su paralaje es inapreciable.
Recordemos
que los hombres medimos la primera paralaje en el año 1838, dos milenios
después de aquellas cavilaciones. El logro cupo a Friedrich Bessel y la
estrella mensurada fue 61 Cygni.
Aristarco
se propuso medir la proporción entre las distancias Tierra- Sol y Tierra- Luna.
Esta empresa fue notoria,
la realizó del modo
que sigue:
Imaginó
que, cuando la Luna mostrara su fase de cuarto, la posición de los astros Luna
(L), Tierra (T) y Sol (S) formarían un triángulo rectángulo en el cielo. Esta hipotética
figura celestial estaría compuesta por:
Los
catetos Tierra-Luna (TL), Luna-Sol (LS),
Y
la hipotenusa Tierra-Sol (TS).
El
ángulo recto debía de ser el ángulo que vincula los catetos TL y LS; el vértice
menor estaría formado por el cateto LS y la hipotenusa TS. El ángulo que
Aristarco se propuso medir fue el que formaría el cateto TL con la hipotenusa
TS. Si lo lograba, podría saber qué tan extenso era el Mundo.
Su
estima le dio que este ángulo era de 87° (en realidad es de 89°45´), de modo
que sus esfuerzos le condujeron a una proporción entre los catetos de 20 a 1 (cuando
lo correcto es 400 a 1). Es decir, por ser el tamaño aparente de Luna igual al
de Sol, la proporción de 400 a 1 indica que el Sol está situado a 400
distancias Tierra-Luna. Aun así el método utilizado por Aristarco para el
cálculo fue correcto y la medida obtenida por el genio, un Sol sito 20 veces
más lejos que la Luna, derivó en una imagen del tamaño del Universo muy difícil
de aceptar en el siglo II AC.
El
experimento referido dice que Aristarco quiso medir la proporcionalidad entre
las distancias Tierra Luna y Tierra Sol. Esto quiere decir que si se concebía
una de las distancias la otra surgiría de tal comparativa.
¿Cómo
medir el diámetro de la Luna?
Los
cuerpos lejanos se muestran al hombre por medio de perspectiva. Esta se basa en
juegos de apariencias originados por la propagación rectilínea de la luz. Un
cuerpo se empequeñece a medida que se aleja. Si está lo suficiente distante,
puedo imaginar que mi visión parte de un punto focal y que el diámetro aparente
del objeto observado será el cateto menor de un triángulo imaginario. El cateto
restante y la hipotenusa tienden a igualarse si la distancia es extrema, como
lo es en el caso de distancias astronómicas.
La
luna se muestra en el cielo bajo un ángulo de 0,5°.* Es decir, el diámetro Lunar cabe casi 700
veces en la circunferencia (en la elipse) de la órbita lunar en derredor de la
Tierra **
Asimismo,
y mediante el apoyo de un elemento que mida el paso del tiempo, puede estimarse
el lapso en que un determinado ángulo -o porción de cielo- sea barrido por un
astro.
En
efecto, Luna barre su espacio aparente
(su 0,5 °) en 85´.
Esto
no nos dice casi nada… Pero, durante un eclipse, la Luna transita el área
aparente que ocupa la sombra de la Tierra en casi 3 horas. Luego, la Luna cabría
2 y pico veces en la sombra de la Tierra. Si conociéramos la medida del
diámetro terrestre, las incógnitas desaparecerían***.
Eratóstenes, contemporáneo de Aristarco, aportó con exactitud
esta medida.
La
Tierra mide unos 40.000 km de circunferencia. Esto es, unos 12.600 km de
diámetro. Luego, la Luna debe de medir unos 4.000 km de diámetro (en realidad
mide 3.474 Km).
Una
forma muy sencilla de estimar el diámetro lunar en nuestros días es a partir de
una foto (o realizar un dibujo) del momento en que la Luna sea eclipsada por la
sombra terrestre. El arco de sombra proyectado sobre el limbo lunar puede ser
completado por medio de un compás y, por simple proporción de figuras, obtener
la relación entre los diámetros DT y dL.
Todos
estos ejemplos incluirán errores, pero la estima será válida, desde mi punto de
vista. Sobre todo si se tiene en cuenta que será realizada por los alumnos en
forma voluntaria.
La
distancia de la Tierra a la Luna.
Si
un astro de 3500 km de diámetro se muestra bajo un arco de 0,5 grados al
observador, por comparación de triángulos puedo calcular la distancia a la que este
se halla.
Trigonometria
o…
La fantástica y estrecha relación existente entre los ángulos y los lados de
los triángulos.
Jugar
con triángulos rectángulos puede deparar una sorpresa. Si tomamos una unidad de
medida para los lados de un triángulo y otra unidad para los ángulos de esa
figura, podremos verificar que existen secretos vínculos entre las longitudes
de esos lados y las amplitudes de tales ángulos. Por ejemplo: dibuja dos
triángulos el uno inscripto dentro del otro sobre un ángulo vértice
cualesquiera, de catetos o hipotenusa de longitudes arbitrarias; si relacionas
por medio de una división los catetos de cada figura entre sí, o uno de los
catetos con su hipotenusa, el resultado numérico siempre será el mismo: una
constante.
Es decir,
si infinitos triángulos rectángulos comparten un segundo vértice, la longitud
de sus lados e hipotenusas siempre serán función de ese ángulo.
Esta
es una regla que se aplica a triángulos rectángulos inscritos sobre el plano y
se conoce desde antaño. Hay registros de su uso desde el 1900 AC.
Los
resultados de tales relaciones se han agrupado en tablas llamadas Tablas Trigonométricas
o tablas de Funciones Trigonométricas. Más allá de sus nombres difíciles, la relación
es sencilla de verificar y constituye una herramienta perfecta para acotar el
cielo.
En el
caso que nos ocupa, medir la distancia Tierra Luna, la incógnita se resuelve
así:
Todo
ángulo vértice de 0,5° permite triángulos rectángulos cuyos catetos e
hipotenusas se relacionan entre sí por medio de un valor llamado tangente. El valor de la función tangente para
el ángulo de 0,5° es de 0,008 aproximado.
Luego,
si un cuerpo de 3500 km de diámetro se muestra bajo un arco de 0,5 grado, la
distancia a la que este se halla se deriva de las trapisondas que siguen:
Tangente
de 0,5° = diámetro real de la Luna / distancia real a la Luna
Si
reemplazamos las palabras por los datos obtenidos:
0,008
= 3500km / x
por pasaje de términos:
x =
3500 km / 0,008
x= 411.000
km aproximados
*Mediante
una dioptra puede medirse un diámetro aparente. Una dioptra es un instrumento
muy práctico, muy bien descrito por Herón de Alejandría (inventor de la máquina
de vapor). Puede fabricarse una dioptra con el cuerpo de una birome libre de su
tanque, un par de clips metálicos (uno por extremo), hilo y plomada, y un
círculo graduado o transportador. Asimismo, puede fabricarse con cartulinas y
delgados hilos de nilón. Su sentido es que pueda advertir el movimiento fino de
los astros y el diámetro aparente de objetos lejanos. La dioptra debe contar
con una base móvil en altura o plano vertical (para apuntar a los astros, o
para medir ángulos verticales) y en el plano horizontal (para deducir el ángulo
que cubre el cuerpo observado). Puede fabricarse una dioptra muy sencilla y
práctica con una bicicleta, una plomada, un tubo fino y recto.
**
En realidad el diámetro medio aparente lunar es de 31´y 5,2´´. De modo que 360°
de circunferencia x 60´= 21.600´ / 31´ de diámetro medio aparente = 697. Esto
es: la Luna cabe 697 veces en su circunferencia media.
***
Los eclipses no se producen en cada Luna llena porque el plano de la órbita del
satélite alrededor de la Tierra tiene una inclinación de 5° con respecto a la
eclíptica. Esta misma variable hace que el eclipse no siempre sea observable sobre
una latitud diametral de ambos astros, por tanto, la duración de los eclipses es
variable. A lo dicho se añade que toda órbita es una elipse, esto es, Luna
transita perigeos y apogeos de modo que su diámetro aparente es función de
aquellos.
Adjunto imágenes de sus tamaños aparentes aunque estas están invertidas. Prometo lograr unas correctas.
Exelente artículo Sergio , un saludo .
ResponderEliminar