Argumentum pendolorogicum

Argumentum pendolorogicum

Diálogo del novato.

Hola, amigos, acá estoy, esta vez mateando en el patio de casa mientras miro a mi nieto jugar con una hamaca de madera pintada que le colgué de la glorieta. La colgué en la sombra, debajo el alto  jacarandá, rosado ahora, en la lluvia constante de esta primavera asolada por el Niño. Hablo del fenómeno climático, claro, no de mi pequeña progenie, ese purrete de casi tres años que conoce los rostros cursis de Copérnico, Kepler y Galileo en los libros de la biblioteca, aunque duda un poco antes de pronunciar Ennsssshtein al ver la lengua afuera y la melena blanca del genio.

Veo a mi nieto hamacarse y pienso en la magia de la vida, que me ha dado estrellas, amores y niños para solaz de mi vejez.

Veo a mi nieto balancearse en su columpio y chupo los amargos, uno detrás de otros hasta verificar la acción incesante de la entropía, esa otra ley del universo. Me alzo y apoyo la pava sobre la hornilla que tengo en el Observatorio, al fondo del parque, desde la cual puedo seguir viendo a Leónidas, tal el nombre de mi gigante griego, que gozoso ríe en el vaivén de su péndulo.

Mientras escucho el silbido generado por la creciente fruición de las moléculas, contenidas en el metálico espacio de la pava, atento a que su energía no exceda el de su cambio de estado, miro al niño ir, detenerse y volver, raudo casi cerca del piso y otra vez arriba, más lento en tanto alza hasta detenerse otra vez, quieta un instante la soga que une la hamaca colorida con la recta viga, y vuelta atrás o abajo.

Mientras estas oscilaciones veo, caigo en la justa cuenta que ese columpio es un péndulo y que todo péndulo tal vez pueda ser visto como imagen simple de un cuerpo que, alto, orbita los cielos preso de esa otra soga que lo une a su astro patrón. Hablo de la gravedad, claro, que jala a ese planeta o satélite inmerso en su eterno vaivén, yendo y viniendo también él, ahora rápido, ahora lento, ascendiendo y bajando por el camino de su órbita como si fuera mi nieto sobre esa hamaca, riendo en la tarde bajo el florido descanso del jacarandá.

Por estar paveando se me pasó el agua, nomás, por lo que le echo ahora agua fría de la canilla y salgo otra vez al sol, hacia mi puesto de abuelo, cerca del nieto que disfruta y se hamaca.

Leónidas, le digo, ¿te gusta la hamaca?

Shí, me dice.

Leónidas, le digo, ¿Sabés que una hamaca es un péndulo?

Péndulo, dice o, mejor, se dice para sí, para grabar esa sucesión de fonemas en su mente, para darle identidad a esa nueva huella mnémica o, como creía Sócrates, recuperarla del olvido universal producto de haber nacido**. Ya largo he comprobado cómo aprende Leónidas. Basta decirle algo una vez:

Betelhause, Sirio; beeeteeeljaus… shirio, dirá de ahí en más, sin olvidar nunca.

Detengo su hamaca y siento su ímpetu. La alzo de nuevo. La aparto de la vertical para que la fuerza única que sufre o crea toda masa se desdoble en las componentes posibles para este sistema: la hamaca.

Una fuerza es radial, compensada por la resistencia de la soga, que merma en tanto aparte de la vertical el peso o centro de masa; la otra es tangencial, con sentido hacia la posición de equilibrio, que aumenta y aumenta en tanto le alzo: lo que los docentes llaman fuerza potencial.

Al fin, le suelto.

Instantánea, la altura ganada comienza a transformarse en fuerza cinética. La hamaca se acelera porque cae y cuando llegue al punto más bajo correrá a su máxima velocidad, allí el empuje será cero pero la inercia le mantendrá en movimiento. De modo que otra vez arriba. Ahora a la inversa. Subirá hasta que su velocidad o energía en movimiento se haya transformado por entero otra vez en empuje potencial (en el colegio se usan estas palabras, me gusta decir energía posible o energía quieta). Qué curioso es el mundo, con sus leyes.

Así funciona el péndulo, Leónidas, le digo a mi inocente compañero de cavilaciones y él nada dice, ahora, porque la palabra ya la ha aprendido y su funcionamiento le es obvio, que no explicado. Los seres humanos necesitamos mucho tiempo para comprender. Saber, se sabe en un instante; comprender, toma años. Es como la luz que vemos de una estrella, la de esta misma brillante estrella que ahora nos baña en el patio o el parque de casa, uno sobre la hamaca y el otro atrás, pensativos los dos. La luz se genera en un instante en el núcleo de los soles, pero necesita miles y miles de años para poder hacerse patente, para salir de ella e iluminarnos. Así es el conocimiento, una extrapolación, una dilación, una demora.

Conocer es alejarse. Por eso los viejos sabemos más: porque miramos la vida desde lejos, callados, a veces; siempre pensativos, cabizbajos; muchas veces sonriendo por dentro.

Dios tendrá la culpa

Un péndulo es un juguete maravilloso. Esta navidad le regalaré un péndulo a Leónidas; o, mejor, se lo regalará el niñito dios -así me decían a mí. De este modo, si no le gusta el regalo, el infame Dios tendrá la culpa. Con un péndulo, un niño puede aprender cosas imprescindibles muy rápido. Un péndulo cumple, siempre, con ciertos comportamientos, y estos son resumidos en aquello que llamamos Constantes.

Un péndulo desnuda las leyes del mundo. Un péndulo demuestra que el mundo tiene, al menos, un sentido. Borges bien podría haber escrito: Argumentum pendolorogicum.*

Pendula mi nieto sobre la hamaca y recuerdo que en ese ejercicio nada importa cuánto pese su cuerpo menudo; es decir, el vaivén de una hamaca (el periodo T, el número de oscilaciones en el tiempo) nada tiene que ver con la masa del niño. Solo depende de dos razones. Una evidente, la otra no. ¿Quieres aprender esto? Ve a la plaza con tu nieto este domingo. ¿No tienes nietos? Lleva a tus hijos, a tus sobrinos, o ve simple y solo y siéntate a ver cómo las mamás hamacan a sus niños; te regocijarás con el descubrimiento de las leyes del péndulo y, acaso, con alguna otra agradable forma física… de las madres.

El periodo de un péndulo solo depende del largo de la cadena (la razón evidente).  Si mirás con atención verás que se cumple esta regla:

El periodo T de un péndulo es proporcional a la raíz de su longitud:

T1/T2 = √ l1 /√ l2

Así es, T, el periodo, es función de la raíz cuadrada del largo de la cadena: luego,

A menor largo l, menor periodo T (T = 1/frecuencia, es decir, un menor periodo implica un mayor número de balanceos en un tiempo dado);

A mayor largo l, mayor periodo T (menor número de balanceos).

Pensemos en la velocidad de los cuerpos orbitales, ellos también rigen su periodo por la extensión del radio de su andar.

La razón oculta que rige sobre el péndulo es la gravedad. Y Cómo no iba a hacerlo, es la fuerza por antonomasia. G, gravedad, es responsable de todo lo que vemos: La forma del espacio; la luz de las estrellas; el calor que surge del centro de la Tierra y causa tectónica de placas, sostén de la vida; todo se lo debemos a ella, una fuerza o deformación o vaya uno a saber qué, dueña por doquier.

Ya le contaré todo esto a Leónidas. Muy pronto lo haré; todo le interesa. El otro día le dije, mientras él desparramaba los coloridos discos de plástico de su respectivo múltiple encastre:

Esto es un ábaco, Leónidas

Ábacjo, dijo y yo

¿Sabés para qué sirve?

¿Para qué sirve? 

Preguntó y le enseñé así: Dispuse un montón de lápices sobre el piso; los comencé a guardar de a uno; por cada lápiz que guardé inserté a su vez una cuenta en el ábaco. Le dije, ayúdame. Lo hizo y contó: unnno, dosh, tresh…

Entropía otra vez.

El mate se enfría de nuevo pero sigo con él. No me preocupan los mates fríos, los libros escritos o rotos, mi cuerpo que envejece, igual obtengo placer de ellos.

Miro la sombra en el piso; su largo es inversamente proporcional a la urgencia de mi estómago; pronto debo prender el fuego para el asado del mediodía.

Decía antes que el análisis de un péndulo tiene puntos de contacto con la mecánica de un planeta que gira en torno al sol. El péndulo y el planeta obran por impulso de la fuerza g. Ambos corren en función del largo o radio de sus pistas. Además, los periodos de sus andares son proporcionales a esos radios mencionados. Por último, sendas masas no inciden en el cálculo de sus órbitas.

El primero en describir sobre la relación existente entre los planetas fue un tal Kepler. Su argumento fue: para todo móvil que orbite a una masa superior, el periodo de la órbita descrita es proporcional al cubo del semieje mayor de ella. Es decir:

Para n cuerpos que orbiten a S, T² será proporcional a R³.

Pero esta apuesta no tuvo explicación hasta varios años después. Tuvo que llegar Newton y postular sus principios:

Masa: existe una propiedad de la materia que es inherente a ella, le llamamos masa. Puede cuantificarse al relacionar la aceleración que logran los cuerpos al aplicarle una determinada fuerza:

F= m . a; y de ella: M = F/ a; a = m/F

Inercia: un cuerpo no modifica su estado de movimiento o de reposo si una fuerza no actúa sobre él. Es lógico que masa e inercia sean conceptos absolutamente relacionados. A mayor masa, mayor inercia.

Acción y Reacción: toda fuerza (F) aplicada sobre una masa, genera en esta una contra fuerza (-F) de igual valor e inverso sentido.

 La obra de Newton es monumental, una de la principales unificaciones de la ciencia. Su F= G Mm/r², es decir, postular que la fuerza que vincula a dos cuerpos es directamente proporcional a sus masas e inversamente proporcional a la distancia que las separe, se deriva de aceptar las leyes antes citadas y explica, por ejemplo, por qué mi nieto se columpia así como por qué una estrella de masa dada que ilumina el cosmos, al derrumbarse encuentra de pronto la energía suficiente como para tragarse su propia luz. 

Esta fórmula explica también la tercera relación de Kepler, la que vinculó los periodos de las órbitas con sus radios. Una proposición se deriva de la otra del modo que sigue:

F como fuerza gravitatoria:

F = G M m /r²

Al analizar un movimiento circular uniforme puede pensarse que el cuerpo que gira lo hace por la acción de una fuerza que le jala desde el centro de giro, es decir, que existe una F que tiende al centro y por eso modifica su trayectoria. Trayecto, que, de por sí, sería rectilíneo o tangencial a la órbita como bien reza el principio de inercia. Luego, esta F es la fuerza centrípeta que tira del planeta hacia el centro de la órbita y vale

F = m V²/r

Donde v²/ r es la componente normal de la aceleración que actúa sobre el móvil que orbita. Esta aceleración es la causal de que el cuerpo modifique su trayectoria, es decir, que esta se cierre sobre sí misma en un círculo o elipse (de otro modo esta sería rectilínea, tangencial a la órbita). En la expresión, V es la velocidad del cuerpo que orbita y puede expresarse en función del periodo T, el mismo que ya nombré al respecto de la hamaca. De modo que:

V = 2π r/T, es decir: velocidad es igual a espacio circular (2πr) divido el periodo o tiempo.

Luego 2πr/T elevado al cuadrado es 4π²r/T² y de aquí

V² = 4π²r²/T²

De modo que F como fuerza centrípeta es

F = m (4π²r²/T²) /r  

Simplificamos r

F= m 4 π² r / T²

Igualamos los segundos miembros de las F y tenemos

F = G M m/r² = m 4 π² r /T²

Simplificamos m y nos queda:

GM/ r²=4π² r /T²

Y de aquí, por pasaje de términos:

GM/4π² = r³/ T²

Por último:

T²/ r³ = 4π² /GM

Expresión que justifica la 3ra ley de Kepler, porque la relación entre los periodos T y los semiejes r depende tan solo de la constante gravitatoria del sol G y de su masa.

Es decir T²/ r³ = k constante.

Pensar en nada

Quién iba a decir que una mañana de domingo, en compañía de Leónidas, iba a ponerme tan pesado. Parpadeo y dejo en el pasado toda esa cháchara inservible, inútil, que solo puede interesar a un viejo que ya destapa sus últimos tintos… y que por eso hace años que no escatima en ellos.

Leónidas, le digo, vamos a encender el fuego para el asado.

Vamosh, dice y se baja de la hamaca y trastabilla.

Juntemos unas leñas y unos palitos, le digo. Y añado:

¿Sabés por qué los palos y los carboncitos dan calor? Ellos se portan igual que el sol…

Pero esto será tema de un próximo domingo de asado en familia, si dios quiere.

*Argumentum ornithologicum

Cierro los ojos y veo una bandada de pájaros. La visión dura un segundo o acaso menos; no sé cuántos pájaros vi. ¿Era definido o indefinido su número? El problema involucra el de la existencia de Dios. Si Dios existe, el número es definido, porque Dios sabe cuántos pájaros vi. Si Dios no existe, el número es indefinido, porque nadie pudo llevar la cuenta. En tal caso, vi menos de diez pájaros (digamos) y más de uno, pero no vi nueve, ocho, siete, seis, cinco, cuatro, tres o dos pájaros. Vi un número entre diez y uno, que no es nueve, ocho, siete, seis, cinco, etcétera. Ese número entero es inconcebible, ergo, Dios existe.

JLB

**Sócrates o Platón son indiscernibles el uno del otro en las arenas del tiempo. Acaso El Eternauta y Oesterheld serán próceres de idéntica carnadura para nuestro porvenir.