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miércoles, 4 de julio de 2012

Distancia a la Estrella.

      De las quimeras buscadas por el hombre, me gusta el capricho de medir el cielo.
Ojalá pudiera situarme con la perspectiva de los antiguos, ante el tamaño de sus desafíos. Saber que ellos midieron el diámetro de la luna y el sol, que magnificaron la tierra con un palo, una sombra y un viaje en camello; que Aristarco relacionó la distancia tierra-luna y tierra-sol, y que aún especuló sobre la distancia a las estrellas, a quienes adjudicaba su justa naturaleza; saber que Arquímedes, ese genio chistoso, calculó cuántos granos de arena precisas para llenar el Cosmos.
Comprobar y aprender esto de mentes que vivieron hace 2200 años, me llena de entusiasmo por el conocimiento. 
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En una Grecia hundida en el peloponeso ¿Cómo imaginar 150.000.000 de kilómetros? Y sin embargo lo hicieron. ¿Nos metemos con ello? Sería el paso previo a aventurarnos a medir la distancia a las lejanas estrellas.

Aristarco será nuestro héroe del día; vayamos atrás, al 280 AC.
El tipo sale una mañana, mira el cielo, acaricia su barba, dice: 
Chispas¡¡¡ ¿Cómo puedo medir la distancia que nos separa del bello Sol, que acaricia la tersa piel de las muchachas de generoso peplo, que escancian descalzas el perlado vino, que me ofrenda el divino Dionisio?

Para contestarse esta chorrada, razonó así: 
“Cuando la luna se ve en el cuarto exacto, es porque en el espacio el sol, la luna y la tierra, forman un triángulo rectángulo perfecto”. 
“Así” -continuó- “cuando sobre la Luna veo el cuarto, en ella se da un ángulo recto formado por el trayecto Sol-Luna (SL) y el trayecto Tierra-Luna (TL) del triángulo imaginado; del triángulo en el que yo ocupo un vértice, formado por los trayectos Tierra-Luna (TL) y Tierra-Sol (TS)”. 
“Vértices y lados –amplió- unidos por esa herramienta maravillosa que llamamos trigonometría, que vincula lados y ángulos de triángulos, en especial de los triángulos rectángulos, como este que en mi mente tengo y que he dibujado sobre la arena para que todos ustedes me entiendan” -cerró.
En esta imagen, alfa es el ángulo recto, beta es el ángulo de 87º y el ángulo de 3º con vértice en el sol, no está marcado.

Todo triángulo rectángulo cumple con ciertas relaciones, llamadas trigonométricas, desarrolladas por Hiparco. Relaciones o funciones que, recordemos, vinculan a los ángulos y los lados de la figura del modo que sigue.

Un poco de aburrimiento, por favor.
Dados n triángulos que compartan sus ángulos internos, no importa la magnitud de sus lados, se cumplirá que las razones entre catetos e hipotenusas dará siempre una cifra constante, llamada, según el ángulo en cuestión:

Seno de α             = lado opuesto/ hipotenusa               senα =op/hip
Coseno de α         = lado adyacente / hipotenusa            cosα =ady/hip
Tangente de α       = lado opuesto/ lado adyacente          tngα =op/ady

Esta relación o función entre los ángulos y lados de un triángulo, es una herramienta soberbia, que allanará el camino de la ciencia y, en nuestro caso, permitirá averiguar las relaciones entre los lados del triángulo imaginario, formado por la posición aparente de los astros considerados.
Aristarco solo debía medir uno de esos ángulos (el formado por TL-TS: beta, en el gráfico), pues el ángulo recto (formado por SL-TL) lo suponía al constatar el cuarto creciente.
Toda vez que midió el ángulo beta, desde su punto de observación, el ángulo  sito sobre el sol (que une SL y TS), surge de constatar que α+ β = 90º.

Luego, con el seno de α obtenemos la relación entre TL y TS

(senα=op/hip)

Aristarco estimó que el ángulo beta era de 87º (en realidad es de 89º51’), así, él fue por este fabuloso camino:

sen 3º = TL/TS

Buscamos en una tabla trigonométrica el valor de seno de 3º y obtenemos 0,520*
*Por supuesto, al ser el seno de un ángulo una constante, basta con dibujar un triángulo cualquiera, cuyos ángulos internos sean 90º, 87º y 3º; medir los lados y dividir el cateto opuesto sobre la  hipotenusa: mágica será la respuesta: 0,520¡¡¡¡¡

de modo que :                sen3º=TL/TS, luego

TS= TL/0,520                Lo que equivale a

TS = 20 TL                   (fórmula 1)

Aristarco determinó, hace 2200 años, que el sol se hallaba a unas 20 distancias Tierra-Luna (en realidad, alfa es de 9´ y no 3º, lo cual eleva la distancia TS a 400 TL, pero a quién le importa, estamos en el siglo II antes de cristo).

¿Cómo hizo para dar a ese valor relativo un número concreto?

La distancia TL equivale al radio de la circunsferencia que la Luna efectúa sobre la Tierra, es decir:

Orbita lunar= π . Diámetro

Ol=  π . 2 . radio                               donde radio es TL         

Entonces:
TL = perímetro de la órbita lunar / 2 . π       (formula 2)

Perfecto¡¡¡ ahora hay que calcular el perímetro de la órbita lunar.
Aristarco estimó el valor del diámetro aparente de la Luna, comprobó que es el mismo que el del sol, es decir, diámetro Luna = diámetro Sol, el cual es de 0,5º. 
Esto es, la órbita lunar equivale a:

360º = 720 x d luna                                    (fórmula 3)

Debemos ahora medir el diámetro real de la Luna¡¡¡
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¿Cómo puede medirse el diámetro real de la Luna, único modo de saber cuanto mide la órbita Lunar, único modo de saber la distancia Tierra Luna, único modo de saber la distancia Tierra Sol, que es, de una vez por todas, lo que vinimos a buscar aquí¡¡¡¡ chispas¡¡¡
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Sespilce sol noc ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

Entonces puede uno medir que tantas veces cabe la luna en la sombra de la tierra. Así, se obtiene una proporción entre ambos diámetros.

La Luna cabe 2,6 veces dentro de la sobra de la tierra. Así, el diámetro lunar es unas 2,6 veces menor al diámetro terrestre, el cual fue medido a su vez por Eratóstenes, con unas simples proporciones derivadas de un palo y una sombra.
Obtenido el diámetro terrestre:

d luna = d tierra / 2,6
d luna = 12.000 km / 2.6
d luna = 4615 km

Reemplazas en f3 y obtienes el perímetro de la órbita lunar:

4600 x 720= 3.300.000 km

Reemplazas en f2 y das con la distancia TL:

3.300.000 / 6.28 = 400.000 km +o-

Con lo cual, Aristarco obtuvo en su f 1:

TS = 20 x 400.000 km = 8.000.000 km

Y la realidad sería:

TS = 400 x 400.000 km = 160.000.000*
* tengamos en cuenta que he redondeado todos los resultados.

Para dar con la respuesta debimos tener en mente tres o cuatro herramientas; ellas fueron: la forma de un triángulo, las razones entre sus lados y ángulos, las proporciones de un círculo

Sergio Galarza
ATDL

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