De las quimeras buscadas por el hombre, me gusta el
capricho de medir el cielo.
Ojalá pudiera situarme con la perspectiva de los
antiguos, ante el tamaño de sus desafíos. Saber que ellos midieron el diámetro de la
luna y el sol, que magnificaron la tierra con un palo, una sombra y un viaje en
camello; que Aristarco relacionó la distancia tierra-luna y tierra-sol, y que
aún especuló sobre la distancia a las estrellas, a quienes adjudicaba su justa
naturaleza; saber que Arquímedes, ese genio chistoso, calculó cuántos granos
de arena precisas para llenar el Cosmos.
Comprobar y aprender esto de mentes
que vivieron hace 2200 años, me llena de entusiasmo por el conocimiento.
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En una Grecia hundida en el peloponeso ¿Cómo imaginar
150.000.000 de kilómetros? Y sin embargo lo hicieron. ¿Nos metemos con ello? Sería
el paso previo a aventurarnos a medir la distancia a las lejanas estrellas.
Aristarco será nuestro héroe del día; vayamos atrás,
al 280 AC .
El tipo sale una mañana, mira el cielo, acaricia su barba, dice:
Chispas¡¡¡ ¿Cómo puedo medir la distancia que nos separa del bello Sol, que acaricia la tersa piel de las muchachas de generoso peplo, que escancian descalzas el perlado vino, que me ofrenda el divino Dionisio?
Chispas¡¡¡ ¿Cómo puedo medir la distancia que nos separa del bello Sol, que acaricia la tersa piel de las muchachas de generoso peplo, que escancian descalzas el perlado vino, que me ofrenda el divino Dionisio?
Para contestarse esta chorrada, razonó así:
“Cuando la luna se ve en el cuarto exacto, es porque en el espacio el sol, la luna y la tierra, forman un triángulo rectángulo perfecto”.
“Así” -continuó- “cuando sobre
“Vértices y lados –amplió- unidos por esa herramienta maravillosa que llamamos trigonometría, que vincula lados y ángulos de triángulos, en especial de los triángulos rectángulos, como este que en mi mente tengo y que he dibujado sobre la arena para que todos ustedes me entiendan” -cerró.
En esta imagen, alfa es el ángulo recto, beta es el ángulo de 87º y el ángulo de 3º con vértice en el sol, no está marcado.
Todo triángulo rectángulo cumple con
ciertas relaciones, llamadas trigonométricas, desarrolladas por Hiparco. Relaciones o funciones que, recordemos, vinculan a los ángulos y los
lados de la figura del modo que sigue.
Un poco de
aburrimiento, por favor.
Dados n triángulos que compartan sus ángulos internos,
no importa la magnitud de sus lados, se cumplirá que las razones entre catetos
e hipotenusas dará siempre una cifra constante, llamada, según el ángulo en
cuestión:
Seno
de α = lado opuesto/
hipotenusa senα =op/hip
Coseno
de α = lado adyacente / hipotenusa cosα
=ady/hip
Tangente
de α = lado opuesto/ lado adyacente tngα =op/ady
Esta relación o función entre los ángulos y lados de
un triángulo, es una herramienta soberbia, que allanará el camino de la ciencia
y, en nuestro caso, permitirá averiguar las relaciones entre los lados del
triángulo imaginario, formado por la posición aparente de los
astros considerados.
Aristarco solo
debía medir uno de esos ángulos (el formado por TL-TS: beta, en el gráfico),
pues el ángulo recto (formado por SL-TL) lo suponía al constatar el cuarto creciente.
Toda vez que midió el ángulo beta, desde su punto de
observación, el ángulo sito sobre el sol (que une SL y TS), surge de
constatar que α+ β = 90º.
Luego, con el seno de α obtenemos la relación entre TL
y TS
(senα=op/hip)
Aristarco estimó que el ángulo beta era de 87º (en
realidad es de 89º51’), así, él fue por este fabuloso camino:
sen 3º = TL/TS
Buscamos en una tabla trigonométrica el valor
de seno de 3º y obtenemos 0,520*
*Por supuesto, al ser el seno de un ángulo una
constante, basta con dibujar un triángulo cualquiera, cuyos ángulos internos
sean 90º, 87º y 3º; medir los lados y dividir el cateto opuesto sobre la hipotenusa: mágica será la respuesta:
0,520¡¡¡¡¡
de modo que : sen3º=TL/TS,
luego
TS= TL/0,520 Lo
que equivale a
TS = 20 TL (fórmula 1)
Aristarco determinó, hace 2200 años, que el sol se
hallaba a unas 20 distancias Tierra-Luna (en realidad, alfa es de 9´ y no
3º, lo cual eleva la distancia TS a 400 TL, pero a quién le importa, estamos en
el siglo II antes de cristo).
¿Cómo hizo para dar a ese valor relativo un
número concreto?
La distancia TL equivale al radio de la circunsferencia
que la Luna
efectúa sobre la Tierra ,
es decir:
Orbita lunar= π . Diámetro
Ol= π . 2 .
radio donde
radio es TL
Entonces:
TL = perímetro de la órbita lunar / 2 . π (formula
2)
Perfecto¡¡¡ ahora hay que calcular el perímetro de la
órbita lunar.
Aristarco estimó el valor del diámetro aparente de la Luna , comprobó que es el
mismo que el del sol, es decir, diámetro Luna = diámetro Sol, el cual es de 0,5º.
Esto es, la órbita lunar equivale a:
Esto es, la órbita lunar equivale a:
360º = 720 x d luna (fórmula 3)
Debemos ahora medir el diámetro real de la Luna ¡¡¡
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¿Cómo puede medirse el diámetro real de la Luna , único modo de saber
cuanto mide la órbita Lunar, único modo de saber la distancia Tierra Luna,
único modo de saber la distancia Tierra Sol, que es, de una vez por todas, lo
que vinimos a buscar aquí¡¡¡¡ chispas¡¡¡
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Sespilce sol noc ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
Entonces puede uno medir que tantas veces cabe la luna
en la sombra de la tierra. Así, se obtiene una proporción entre ambos diámetros.
Obtenido el diámetro terrestre:
d luna = d tierra / 2,6
d luna = 12.000 km / 2.6
d luna = 4615 km
Reemplazas en f3 y obtienes el perímetro de la órbita
lunar:
4600 x 720= 3.300.000 km
Reemplazas en f2 y das con la distancia TL:
3.300.000 / 6.28 = 400.000 km +o-
Con lo cual, Aristarco obtuvo en su f 1:
TS = 20 x 400.000 km = 8.000.000 km
Y la realidad sería:
TS = 400 x 400.000 km = 160.000.000*
* tengamos en cuenta que he redondeado todos los
resultados.
Para dar con la respuesta debimos tener en mente tres o cuatro herramientas; ellas fueron: la forma de un triángulo, las razones entre sus lados y
ángulos, las proporciones de un círculo.
Sergio Galarza
ATDL
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