Astronomía
y geometría en la Escuela
Una
práctica de Meridiana,
astronomía de día,
de Sergio Galarza.
“Alzó su
mano, llevaba una vara de medir…”
Párrafo de Biblia Judeocristiana.
Eratóstenes acotó
el mundo. Los alumnos ¿pueden medir la Luna?
La Tierra es una esfera o -como
se dice en la escuela- un geoide.
¿Cuál es su magnitud? ¿Cuál su
diámetro?
Plantear la resolución a este
enigma nos permitirá tratar un sinnúmero de temas: historia, filosofía,
geografía, óptica, astronomía, geometría, matemáticas… Propongo que se plantee el
desafío de medir el mundo y que se destine cierto tiempo para razonar sobre una
posible solución. La respuesta puede anidar en las proporciones que guardan
entre sí triángulos rectángulos, en gentes que se sientan y se paran, y quizá en
otros métodos.
La primera mención, a un sabio
que midiera el planeta, remonta unos 2.300 años atrás, al 275 AC. Se atribuye
la proeza a Eratóstenes. Este Matemático y Astrónomo nacido en Cirene, Grecia,
fue gran amigo de la mente más gloriosa de la especie humana, Arquímedes. Ojalá
conociéramos la obra de estos genios que jugaban con cuerdas, nudos, varas,
arena.
Eratóstenes, para medir
el mundo, razonó así:
Supuso al planeta Tierra como una
esfera.
Supuso al Sol, su lejanía y
tamaño*, suficientes como para aceptar que los rayos de luz incidan paralelos sobre
el planeta.
Aceptadas estas licencias puede
explicarse que, sobre diversas latitudes terrestres, la irradiación solar no incida
con un mismo ángulo respecto al piso**.
Desarrollo de la idea:
Si sobre dos localidades cualesquiera,
durante una misma jornada, el sol incide en diverso ángulo es porque esas
localidades no están situadas sobre un plano. Puede aceptarse que estas
localidades están situadas sobre la superficie de una esfera o cilindro; en
suma, que entre ellas media una curvatura espacial.
Las imágenes son más
claras que las palabras:
La leyenda:
Eratóstenes trabajaba como
responsable de la Biblioteca de Alejandría; allí hizo lectura de un texto que
asegura lo siguiente: sobre la ciudad de Asuán (hoy Siena), en el día del solsticio vernal, las columnas no proyectan
sombra y puede verse el fondo de los pozos de agua.
Si esta lectura llamó la atención
a Eratóstenes fue porque en su amada
Alejandría el día del solsticio -y cualquier otro día del año- todos menhires arrojaban
sombra. Es decir, en Alejandría, todas las columnas, palos, varas y hombres,
así como la mujeres y niños; todos, insisto, siempre, arrojan sombra, que por
algo decimos que Grecia es la cuna de la democracia.
Extasiado con la buena nueva, el
genio comprendió que podía medir la Tierra. Lo hizo
así:
Clavó un palo perpendicular (gnomon)
al piso en su ciudad. En Asuán -ya lo sabía- un gnomon similar no proyectaría
sombra el día solsticial de verano (o se veían los pozos iluminados, es lo
mismo).
Midió el ángulo σ que la sombra formó con su gnomon plantado.
Imaginó una recta que continuara a
su palo hasta el centro de la Tierra; allí, esta se cruzaría con la recta que continuara
al pozo de Asuán formando un ángulo α.
Luego, el
ángulo α que en el centro de la Tierra forman las rectas imaginarias al
cruzarse, será el ángulo que define el arco que separa una ciudad de la otra,
es decir, α es una
proporción de la distancia entre ambas localidades. Y, como por
definición una recta que corta dos paralelas crea ángulos internos alternos
iguales, al medir el ángulo de la sombra del gnomon, Eratóstenes medía en
realidad el ángulo central que crea el arco que separa las ciudades: es decir
α = σ
Lo único que faltaba medir para
conseguir el tamaño de la Tierra era ese arco, es decir la distancia D entre Asuán y Alejandría.
Luego: D
es a α como la circunferencia terrestre es al ángulo interno del círculo.
Es decir: D/α = circunferencia terrestre/ 360°
La práctica en el colegio puede
hacerse con un gnomon en el patio, previo acuerdo con una escuela situada en
distinta latitud geográfica. Ambos grupos pueden conocerse y colaborar para
alcanzar un resultado tan especial como la correcta mensura de la Tierra.
Una alternativa o
complemento importante es el siguiente: tomar
un balón o inflar un globo. La clave es que se desconozca el diámetro del
mismo.
Iluminar con una luz focal, o
dirigida (un spot de escenario, por ejemplo).
Pegar sobre la esfera o el globo
un par de pequeños alfileres o gnómones de cartulina. Medir las diversas
sombras y calcular los ángulos que las generan.
Calcular el diámetro y la circunferencia
de los modelos.
Verificar los cálculos con la
lectura real.
Listo, a festejar, han medido el
mundo.
Creo que un alumno que lea por su
cuenta la Tierra se inviste con un aura, como el ángel de la biblia, el que en
su mano alzara una vara de medir.
*Que la sombra de la Tierra cubra
a la Luna; y que el Sol quede eclipsado a su vez por esta, son indicios de que
el Sol pueda ser imaginado como mucho más grande que ambos astros y lo
suficiente lejano.
**Recordemos que el sitio del
observador es un punto en el centro de un plano -o área supuesta plana- acotada
por el horizonte del observador.
Sergio Galarza.
Didáctica de la astronomía y ciencias.
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